É uma função f: R® R, definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes reais e a ¹ 0. Também chamada de função quadrática.
Ex:
- a) y = 5x2 – 3x + 11
- b) f(x) = x2 – 36
- c) y = x2 + 13x + 5
Conteúdos
Gráfico
A função quadrática é representada graficamente por uma parábola, cuja concavidade pode ser voltada para cima (quando a > 0) ou voltada para baixo (quando a < 0).
GRÁFICO
A função quadrática é representada graficamente por uma parábola, cuja concavidade pode ser voltada para cima (quando a > 0) ou voltada para baixo (quando a < 0).
Zeros da Função
Zeros da função quadrática são os valores de x que anulam a função e podem ser obtidos pela fórmula de Bháskara:
|
Lembrete:
RELAÇÃO ENTRE RAÍZES E COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DO 2o GRAU:
S = e P =
Vértice da parábola
É a intersecção da parábola com o eixo de simetria. As coordenadas do vértice são dadas por:
Função do tipo
Comecemos por representar a função quadrática . Antes da representação gráfica da função, é útil construir uma tabela onde se registam as coordenadas de pontos pertencentes ao gráfico, para tal, escolhem-se valores para x e calculam-se os respectivos valores de y atendendo ao facto de
| x | Y |
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 2 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| Domínio | ||
| Contradomínio | ||
| Intersecção com os eixos coordenados | ||
| Vértice da parábola | ||
| Eixo de simetria | ||
| Extremos | Mínimo: 0
Minimizante: 0 |
Mínimo: 0
Minimizante: 0 |
| Sentido da concavidade | Concavidade voltada para cima. | Concavidade voltada para baixo. |
| Monotonia | Decrescente para
Crescente para |
Crescente para
Decrescente para |
| Sinal | Positiva em | Negativa em |
| Influência do parâmetro a | Á medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria. | |
Função do tipo
Família de funções do tipo
Comecemos por comparar a função com a função .
Consederemos o caso em que a=1 e p=2, ou seja, , e comparemos as representações dos gráficos das funções e .
| x | ||
| -3 | 9 | 25 |
| -2 | 4 | 16 |
| -1 | 2 | 9 |
| 0 | 0 | 4 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 0 |
| 3 | 9 | 1 |
O gráfico da função obtem-se a partir da função deslocando-o duas unidades para a direita.
No caso de a=-1 e p=-2, ou seja, e são as seguintes:
| x | ||
| -3 | 9 | 1 |
| -2 | 4 | 0 |
| -1 | 2 | -1 |
| 0 | 0 | -4 |
| 1 | 1 | -9 |
| 2 | 4 | -16 |
| 3 | 9 | -25 |
O gráfico da função obtem-se a partir do gráfico da função deslocando-o duas unidades para a esquerda e invertendo o sentido da concavidade passando a ter concavidade voltada para baixo.
A translação da função no eixo horizontal de duas unidades para a esquerda, deve-se ao facto de:
O gráfico da função a partir da função deslocando-o unidades de comprimento. No caso de p<0, a translação é para a esquerda de comprimento . Quando , a translação é para a direita e de comprimento .
O vértice da parábola é o ponto V(p,0) e o gráfico desta função é simétrico em relação a recta x=p.Quadro resumo do estudo completo da função
| Domínio | ||
| Contradomínio | ||
| Intersecção com os eixos coordenados | Eixo das abcissas
Eixo das ordenadas: Q |
|
| Vértice da parábola | ||
| Eixo de simetria | ||
| Extremos | Mínimo: ordenada do vértice;
Minimizante: abcissa do vértice |
Máximo: ordenada do vértice
Maximizante: abcissa do vértice. |
| Sentido da concavidade | Concavidade voltada para cima. | Concavidade voltada para baixo. |
| Monotonia | Decrescente para
Crescente para |
Crescente para
Decrescente para |
| Sinal | Para todo, a função é positiva se a>0 e negativa se a<o. | |
| Influência do parâmetro a | Á medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria. | |
Família de funções do tipo: ,
Considere as representações das funções
| x | ||
| -3 | 9 | 28 |
| -2 | 4 | 19 |
| -1 | 2 | 12 |
| 0 | 0 | 7 |
| 1 | 1 | 4 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 9 | 4 |
O gráfico da função obtém-se a partir da função deslocando-o duas unidades para a direita e três unidades para cima.
O gráfico da função pode ser obtido pela translação vertical de comprimento do gráfico . A translação será para cima se q>0 e para baixo se q<0.
O vertice da parábola é o ponto V(p,q) e o gráfico desta função é simétrico em relação á recta x=p.
| Domínio | ||
| Contradomínio | ||
| Intersecção com os eixos coordenados | Eixo das abcissas
Eixo das ordenadas: Q |
|
| Vértice da parábola | ||
| Eixo de simetria | ||
| Extremos | Mínimo: ordenada do vértice;
Minimizante: abcissa do vértice |
Máximo: ordenada do vértice
Maximizante: abcissa do vértice. |
| Sentido da concavidade | Concavidade voltada para cima. | Concavidade voltada para baixo. |
| Monotonia | Decrescente para
Crescente para |
Crescente para
Decrescente para |
| Sinal | Positiva em:
Negativa em: |
Positiva em:
Negativa em:
|
| Influência do parâmetro a | Á medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria. | |
Expressão Analítica de uma função Quadrática
Conhecidos alguns pontos do gráfico de uma função quadrática é possível determinar uma expressão analítica que a defina.
No caso de se conhecer:
- O vértice da parábola V (p, q), então ,
- Os zeros da parábola, , Então ;
- Três pontos do gráfico, determinam-se os valores de a, b e c.
Nos dois primeiros casos, para conhecer o valor de a, basta substituir as coordenadas de um ponto na expressão analítica obtida.
