Semelhança de Triângulos e Razões Trigonométricas Ângulos Especiais |
Semelhança de triângulos
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Dois triângulos dizem-se semelhantes quando são homotéticos, isto é, quando existe uma homotetia entre os dois triângulos – os lados dos triângulos são proporcionais entre si. Das seguintes relações de semelhança, conclui-se que os dois triângulos a considerar são homotéticos: |
a) Três lados proporcionais [LLL], ou três ângulos iguais entre si [AAA]; O efeito produzido por [LLL] ou por [AAA] é o mesmo, e equivalem entre si: dois triângulos com ângulos iguais entre si têm lados correspondentes com comprimento de igual proporção, e vice-versa.
b) b) dois lados proporcionais e um ângulo igual [LAL]; Aqui quando, dois lados dos triângulos são proporcionais, e um dos ângulos de um triângulo tem igual abertura ao do ângulo correspondente no outro triângulo.
c) c) dois ângulos iguais e um lado proporcional [LAA]; Dois ângulos quaisquer são iguais. Tem-se ’, e um valor para x’/x. Então resulta que o terceiro ângulo é igual para os dois triângulos, e que os lados são proporcionais.
Estas classificações não devem ser confundidas com as de triângulo equilátero, isósceles e escaleno. |
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Razões Trigonométricas de Ângulos especiais |
Podemos determinar seno, co-sseno, tangente e co-tangente de alguns ângulos, esses ângulos são chamados de notáveis, os ilustrados na tabela abaixo.
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Valores do argumento ⍺ (graus) |
0ᵒ |
30ᵒ |
45ᵒ |
60ᵒ |
90ᵒ |
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0 |
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1 |
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0 |
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Não existe |
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0 |
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Valores do argumento ⍺ (radianos) |
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Relações trigonométricas
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Com base num triângulo rectângulo podemos obter as seguintes relações trigonométricas: |
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a) Seno de : É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
b) Cosseno de : É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
c) Tangente de : É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,
d) Co-tangente de : É o quociente dos comprimentos do cateto adjacente pelo cateto oposto, ou seja, |
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Exemplo:
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No triângulo rectângulo abaixo, determine as medidas x e y. (Usando: . |
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Relação fundamental da trigonometria
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A relação que se segue é de grande utilidade na trigonometria e por via disso recebe a designação de relação fundamental da trigonometria. |
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A partir desta relação podem ser deduzidas outras relações equivalentes como por exemplo: |
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Exercício
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1. Usando os conhecimentos da relação trigonométrica, determine no triângulo abaixo, os valores de t e de s. |
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2. Qual é o comprimento da sombra de um poste de 5m no instante em que os raios solares estão formando um ângulo de 60º com o solo? |
Grau e o Radiano
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A unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional é o radiano e o processo para obter um radiano a partir do grau, basta efectuar uma regra de três simples da forma: |
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Exemplos:
Vamos determinar o radiano de cada ângulo abaixo |
a) |
b) |
Conversão da medida de um ângulo de radianos em graus
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Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três simples, mas outra forma é substituir rad pelo seu correspondente em graus, , e simplificar a fracção. Veja os exemplos: |
a) ; |
b) |