As estatísticas permitem-nos obter determinados valores que servem como estimativas dos parâmetros (desconhecidos) ou características das distribuições populacionais, a estes valores chamamos estimativas pontuais. Um estimador é uma variável aleatória, função da amostra aleatória, que para valores observados da amostra fornece estimativas pontuais ou estimativas intervalares do parâmetro populacional desconhecido.
Conteúdos
- 1 Intervalos de confiança
- 2 Estimação da proporção. Intervalo de confiança para a proporção
- 3 Confiança e precisão
- 4 Interpretação do intervalo de confiança
- 5 Estimação do valor médio. Intervalo de confiança para o valor médio
- 6 Intervalo de confiança para o valor médio – σ conhecido
- 7 Intervalo de confiança para o valor médio – σ desconhecido
Intervalos de confiança
De forma geral, a estimação por intervalos utiliza um estimador pontual para o parâmetro de interesse e a partir deste são gerados os limites inferiores e superior do intervalo, diminuindo e somando do estimador pontual uma quantidade fixa que é comumente chamada de margem de erro. Quando a distribuição do estimador é simétrica então o intervalo de 100 × (1 − α) % de confiança tem a seguinte forma:
Conf (Estim–k x Des. Pad. ≤ Parâmetro ≤ Estim. + k x Des. Pad.) = 100 x (1 − α)%
Quando o parâmetro de interesse é a média, μ, da população e os dados têm distribuição Normal ou o tamanho de amostra é suficientemente grande, então o intervalo de confiança será:
Onde X e S são a média e o desvio padrão amostrais, n é o tamanho da amostra e o valor de k vem da distribuição t-Student com n -1 graus de liberdade. Caso o desvio padrão da população, σ, for conhecido, substitui-se S por este valor e k será obtido da tabela da distribuição Normal padrão, Idem.
Estimação da proporção. Intervalo de confiança para a proporção
Quando pretendemos fazer inferência sobre p, recolhemos uma amostra de dimensão n e calculamos p. O valor obtido é uma estimativa pontual de p. Se recolhermos várias amostras da mesma dimensão e calcularmos outras tantas estimativas para p, não temos possibilidade de saber qual o erro associado com cada uma dessas estimativas. O verdadeiro valor da percentagem p é desconhecido, pelo que não sabemos se as estimativas que obtivemos são boas ou más, portanto não sabemos qual a confiança com que devem ser encaradas, e não temos assim possibilidade de saber qual a que devemos utilizar.
Confiança e precisão
A amplitude do intervalo nos dá a precisão, quanto menor for a amplitude, maior será a precisão. Efectivamente não estamos interessados em obter um intervalo com uma grande amplitude, pois numa situação extrema dizemos que o intervalo [0, 1] contém a probabilidade p, que pretendemos estimar, com uma confiança de 100%. Margem de erro, a metade da amplitude do intervalo de confiança. Representando a margem de erro por ME, temos na expressão anterior que dá o valor adequado para a dimensão da amostra.
Interpretação do intervalo de confiança
Ao interpretar o intervalo de confiança deve-se ter em atenção que o que é aleatório é o intervalo e não a percentagem p desconhecida, a variabilidade existe no processo de amostragem e não no parâmetro, portanto, quando se recolhem várias amostras, o valor de p é diferente de amostra para amostra, pelo que os limites do intervalo variam. Exemplo: ao recolher 100 amostras da mesma dimensão e ao calcular os intervalos correspondentes, aproximadamente 95 destes intervalos contêm o parâmetro p, enquanto 5 não o contêm.
Estimação do valor médio. Intervalo de confiança para o valor médio
Um bom estimador para o valor médio é a média, pelo que a maneira de proceder é a seguinte: recolhe-se uma amostra de dimensão n da população a estudar, x1, x2,…, xn, e calcula-se a média x =∑xi/n. Este valor é considerado como estimativa pontual de µ.
Intervalo de confiança para o valor médio – σ conhecido
Consideremos a população X com distribuição Normal de parâmetros μ e σ, em que o parâmetro σ é conhecido, portanto, para a distribuição da média, tem-se:
X ∩ N(µ,σ/).
Intervalo de confiança para o valor médio – σ desconhecido
Em situações anteriores, o parâmetro σ era conhecido. No entanto na situação mais vulgar, tanto µ como σ são desconhecidos.
Bibliografia
MARTINS, Maria Eugénia Graça. “Análise de Dados: Introdução às Técnicas de Amostragem”. Lisboa: 2009, 166 p.
VELARDE, Luís Guillermo Coca. “Noções de Bioestatística”. São Paulo: 2011, 99 p.
BOLFARINE, Heleno & BUSSAB, Wilton O. “Elementos de Amostragem”. São Paulo: 2004, 269 p.
POCINHO, Margarida. “Amostra e Tipos de Amostragens”. São Paulo: 2009, 39 p.
